Question

6．正數(shù)x，y滿足x³+y³=x-y，不等式x²+λy²≤1任意x，y為正數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最大值．

Answer 1

分析 把x²+λy²≤1恒成立，轉(zhuǎn)化為x³+y³≥（x-y）（x²+λy²）恒成立，展開后利用基本不等式得到$2\sqrt{λ+1}≥λ$，然后求解關(guān)于λ的不等式得其最值．

解答 解：若x²+λy²≤1恒成立，
則x³+y³≥（x-y）（x²+λy²）=x³+λxy²-yx²-λy³，
則（λ+1）y³+yx²≥λxy²，
∴（λ+1）y³+yx²≥$2\sqrt{（λ+1）{y}^{4}{x}^{2}}$=$2\sqrt{λ+1}x{y}^{2}$．
由$2\sqrt{λ+1}x{y}^{2}≥λx{y}^{2}$．
得$2\sqrt{λ+1}≥λ$，
∴4（λ+1）≥λ²，
解得：2-2$\sqrt{2}$≤λ≤2+2$\sqrt{2}$．
∴實(shí)數(shù)λ的最大值為$2+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了不等式的應(yīng)用，是中檔題．