Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x≥1，y≥1，（log_ax）²+（log_ay）²=log_a（ax²）+log_a（ay²），當(dāng)a＞1時(shí)，求log_a（xy）的取值范圍．

Answer 1

解：∵x≥1，y≥1，a＞1，
∴（log_ax）²+（log_ay）²=log_a（ax²）+log_a（ay²）可變形為
（log_ax）²+（log_ay）²=log_aa+2log_ax+log_aa+2log_ay，
即（log_ax）²+（log_ay）²-2log_ax-2log_ay-2=0，
即（log_ax+log_ay）²-2log_ax•log_ay-2（log_ax+log_ay）-2=0
設(shè)log_ax=m，log_ay=n，則m≥0，n≥0，且（m+n）²-2mn-2（m+n）-2=0
∵mn≤（）²=
∴（m+n）²-2mn-2（m+n）-2=0≥（m+n）²-2×-2（m+n）-2
即（m+n）²-4（m+n）-4≤0
∴2-2≤m+n≤2+2
即2-2≤log_ax+log_ay≤2+2
即2-2≤log_a（xy）≤2+2
又x≥1，y≥1，a＞1，可得0≤log_a（xy）
所以0≤log_a（xy）≤2+2
分析：先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將已知對(duì)數(shù)等式變形為關(guān)于log_ax，log_ay的等式，再利用換元法及均值定理將等式轉(zhuǎn)化為不等式，解不等式即可得所求范圍
點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，利用均值定理化等式為不等式求變量范圍的解題技巧，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法