Question

5．已知f（x）=x+$\frac{x}$在（1，e）上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]∪[e²，+∞）
• B． （-∞，0]∪[e²，+∞）
• C． （-∞，e²]
• D． [1，e²]

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進行求解．

解答 解：若b≤0，
則函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，滿足條件，
若b＞0，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=1-$\frac{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x＞$\sqrt$或x＜-$\sqrt$，此時單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得-$\sqrt$＜x＜$\sqrt$，此時單調(diào)遞減，
若函數(shù)f（x）在（1，e）上為單調(diào)增函數(shù)，則$\sqrt$≤1，即0＜b≤1，
若函數(shù)f（x）在（1，e）上為單調(diào)遞減函數(shù)，若$\sqrt$≥e，即b≥e²，
綜上b≤1或b≥e²，
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．注意要使用分類討論的思想．