Question

11．如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M為PC的中點(diǎn)．
（1）指出平面ADM與PB的交點(diǎn)N所在位置，并給出理由；
（2）求平面ADM將四棱錐P-ABCD分成上下兩部分的體積比．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，推導(dǎo)出AD∥平面PBC，從而AD∥MN，由此能求出N為PB的中點(diǎn)．
（2）推導(dǎo)出AD⊥PA，AD⊥AB，從而AD⊥平面PAB，進(jìn)而AD⊥AN，P點(diǎn)到截面ADMN的距離為P到直線AN的距離，從而求出四棱錐P-ADMN的體積V₁，再求出四棱錐P-ABCD的體積V，從而四棱錐被截下部分體積V₂=V-V₁，由此能求出平面ADM將四棱錐P-ABCD分成上下兩部分的體積比．

解答 解：（1）N為PB中點(diǎn)．
理由如下：
∵AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
又∵AD?平面AMD，平面AMD∩平面PBC=MN，
∴AD∥MN，
又∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴N為PB的中點(diǎn)．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴AD⊥PA
又∵底面ABCD為矩形，∴AD⊥AB
∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，又∵AN?平面PAB，∴AD⊥AN，
∵M(jìn)N是△PBC的中位線，且BC=1，∴$MN=\frac{1}{2}$，
又$AN=\frac{PB}{2}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，∴${S_{ADMN}}=\frac{1}{2}×（{\frac{1}{2}+1}）×\frac{{\sqrt{5}}}{2}=\frac{{3\sqrt{5}}}{8}$，
∵P點(diǎn)到截面ADMN的距離為P到直線AN的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
∴四棱錐P-ADMN的體積${V_1}=\frac{1}{3}×\frac{{3\sqrt{5}}}{8}×\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{4}$
而四棱錐P-ABCD的體積$V=\frac{1}{3}×2×1=\frac{2}{3}$，
∴四棱錐被截下部分體積${V_2}=V-{V_1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$
故上、下兩部分體積比$\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的交點(diǎn)位置的確定，考查兩部分的體積比的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．