Question

20．某地計劃在一處海灘建造一個養(yǎng)殖場．

（1）如圖1，射線OA，OB為海岸線，$∠AOB=\frac{2π}{3}$，現用長度為1千米的圍網PQ依托海岸線圍成一個△POQ的養(yǎng)殖場，問如何選取點P，Q，才能使養(yǎng)殖場△POQ的面積最大，并求其最大面積．
（2）如圖2，直線l為海岸線，現用長度為1千米的圍網依托海岸線圍成一個養(yǎng)殖場．
方案一：圍成三角形OAB（點A，B在直線l上），使三角形OAB面積最大，設其為S₁；
方案二：圍成弓形CDE（點D，E在直線l上，C是優(yōu)弧所在圓的圓心且$∠DCE=\frac{2π}{3}$），其面積為S₂；試求出S₁的最大值和S₂（均精確到0.01平方千米），并指出哪一種設計方案更好．

Answer 1

分析 （1）設OP=a，OQ=b，則1²=a²+b²-2abcos$\frac{2π}{3}$，再利用基本不等式的性質與三角形面積計算公式即可得出．
（2）方案一：設OA=x（0＜x＜1），則OB=1-x．則S₁=$\frac{1}{2}x$（1-x）sin∠AOB，利用基本不等式的性質即可得出最大值．
方案二：設半徑r（0＜r＜1），則$\frac{2}{3}×2πr$=1．解得r=$\frac{3}{4π}$．可得S₂=$\frac{2}{3}×π×（\frac{3}{4π}）^{2}$+$\frac{1}{2}×（\frac{3}{4π}）^{2}sin\frac{2π}{3}$，即可比較出S₁與S₂的大小關系．

解答 解：（1）設OP=a，OQ=b，則1²=a²+b²-2abcos$\frac{2π}{3}$≥2ab+ab，可得ab$≤\frac{1}{3}$，當且僅當$OP=OQ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時取等號．
S=$\frac{1}{2}$absin$\frac{2π}{3}$≤$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∴當且僅當$OP=OQ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，養(yǎng)殖場△POQ的面積最大，${S_{max}}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$（平方千米）
（2）方案一：設OA=x（0＜x＜1），則OB=1-x．
則S₁=$\frac{1}{2}x$（1-x）sin∠AOB≤$\frac{1}{2}×（\frac{x+1-x}{2}）^{2}$=$\frac{1}{8}$，當且僅當x=$\frac{1}{2}$時取等號．∴${S_1}_{max}=\frac{1}{8}$（平方千米），
方案二：設半徑r（0＜r＜1），則$\frac{2}{3}×2πr$=1．解得r=$\frac{3}{4π}$．
∴S₂=$\frac{2}{3}×π×（\frac{3}{4π}）^{2}$+$\frac{1}{2}×（\frac{3}{4π}）^{2}sin\frac{2π}{3}$≈0.144（平方千米）
∴S₁＜S₂，方案二所圍成的養(yǎng)殖場面積較大，方案二更好．

點評 本題考查了基本不等式的性質、三角形面積計算公式、余弦定理、圓的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．