Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤0的解集；
（2）若f（x）＞a-2|x+1|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對x討論，分當(dāng)x＜-1時，當(dāng)-1≤x≤$\frac{1}{2}$時，當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，去掉絕對值，解不等式，最后求并集即可；
（2）由題意可得|2x-1|+|x+1|＞a恒成立，令g（x）=|2x-1|+|x+1|，對x討論，分當(dāng)x＜-1時，當(dāng)-1≤x≤$\frac{1}{2}$時，當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，去掉絕對值，運用單調(diào)性可得最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x＜-1時，1-2x-（-x-1）≤0，即x≥2，可得x∈∅；
當(dāng)-1≤x≤$\frac{1}{2}$時，1-2x-（x+1）≤0，即x≥0，可得0≤x≤$\frac{1}{2}$；
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，2x-1-（x+1）≤0，即x≤2，可得$\frac{1}{2}$＜x≤2．
綜上可得，原不等式的解集為[0，2]；
（2）f（x）＞a-2|x+1|恒成立，即為|2x-1|+|x+1|＞a恒成立，
令g（x）=|2x-1|+|x+1|，
當(dāng)x＜-1時，g（x）=1-2x+（-x-1）=-3x，可得g（x）＞3；
當(dāng)-1≤x≤$\frac{1}{2}$時，g（x）=1-2x+（x+1）=2-x，可得g（x）∈[$\frac{3}{2}$，3]；
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，g（x）=2x-1+（x+1）=3x，可得g（x）＞$\frac{3}{2}$．
則g（x）的最小值為$\frac{3}{2}$．
即有a＜$\frac{3}{2}$，
則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，注意運用分類討論的思想方法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．