Question

11．棱長(zhǎng)為a的正四面體中，給出下列命題：
①正四面體的體積為V=$\frac{a^3}{24}$；
②正四面體的表面積為S=$\sqrt{3}$a²；
③內(nèi)切球與外接球的表面積的比為1：9；
④正四面體內(nèi)的任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和均為定值．
上述命題中真命題的序號(hào)為②③④．

Answer 1

分析 ①正四面體的高h(yuǎn)=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，體積為V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}a×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，計(jì)算即可判斷出正誤；
②正四面體的表面積為S=$4×\frac{\sqrt{3}}{4}×{a}^{2}$，即可判斷出正誤；
③分別設(shè)內(nèi)切球與外接球的半徑為r，R，則4×$\frac{1}{3}r×$$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³，解得r；R+$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，解得R，即可判斷出正誤；
④正四面體內(nèi)的任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為H，則$\frac{1}{3}$×H×$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$×$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$，化簡(jiǎn)即可判斷出正誤．

解答 解：①正四面體的高h(yuǎn)=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，體積為V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}a×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³≠$\frac{a^3}{24}$，因此不正確；
②正四面體的表面積為S=$4×\frac{\sqrt{3}}{4}×{a}^{2}$=$\sqrt{3}$a²，正確；
③分別設(shè)內(nèi)切球與外接球的半徑為r，R，則4×$\frac{1}{3}r×$$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³，解得r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a；R+$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，解得R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a．
∴r：R=1：3，因此表面積的比為1：9，正確；
④正四面體內(nèi)的任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為H，則$\frac{1}{3}$×H×$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$×$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$，化簡(jiǎn)可得：H=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，即為正四面體的高，均為定值，正確．
上述命題中真命題的序號(hào)為②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正四面體的性質(zhì)、球的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．