Question

17．近幾年騎車鍛煉越來(lái)越受到人們的喜愛(ài)，男女老少踴躍參加，我校課外活動(dòng)小組利用春節(jié)放假時(shí)間進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，將被調(diào)查人員分為“喜歡騎車”和“不喜歡騎車”，得到如表統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

組數(shù)	分組	喜歡騎車鍛煉的人數(shù)	占本組的頻率
第一組	[25，30）	120	0.6
第二組	[30，35）	195	p
第三組	[35，40）	100	0.5
第四組	[40，45）	a	0.4
第五組	[45，50）	30	0.3
第六組	[50，55]	15	0.3

（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并n，a，p的值；
（2）從[40，50）歲年齡段的“喜歡騎車”中采用分層抽樣法抽取18人參加騎車鍛煉體驗(yàn)活動(dòng)，其中選取3人作為領(lǐng)隊(duì)，記選取的3名領(lǐng)隊(duì)中年齡在[40，50）歲的人數(shù)為X，求X的分布列和期望EX．

Answer 1

分析 （1）利用頻率直方圖的性質(zhì)：所有頻率和為1，頻率的計(jì)算公式即可得出．
（2）由[40，45）年齡段的“喜歡騎車”與[45，50）年齡段的“喜歡騎車”的比值為60：30=2：1，可得采用分層抽樣法抽取18人，[40，45）中有12人，[45，50）中有6人．利用隨機(jī)變量X服從超幾何分布即可得出．

解答 解：（1）第二組的頻率為1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
∴高為$\frac{0.3}{5}=0.06$，頻率直方圖如下：
第一組的人數(shù)為$\frac{120}{0.6}=200$，頻率為0.04×5=0.2，
∴$n=\frac{200}{0.2}=1000$．
由題可知，第二組的頻率為0.06×5=0.3，
∴第二組的人數(shù)為1000×0.3=300，∴$p=\frac{195}{300}=0.65$．
第四組的頻率為0.03×5=0.15，
∴第四組的人數(shù)為1000×0.15=150，∴a=150×0.4=60．
（2）∵[40，45）年齡段的“喜歡騎車”與[45，50）年齡段的“喜歡騎車”的比值為60：30=2：1，
∴采用分層抽樣法抽取18人，[40，45）中有12人，[45，50）中有6人．
∵隨機(jī)變量X服從超幾何分布，
∴$P（X=0）=\frac{{C_{12}^0C_6^3}}{{C_{18}^3}}=\frac{5}{204}$，$P（X=1）=\frac{{C_{12}^1C_6^2}}{{C_{18}^3}}=\frac{15}{68}$，$P（X=2）=\frac{{C_{12}^2C_6^1}}{{C_{18}^3}}=\frac{33}{68}$，$P（X=3）=\frac{{C_{12}^3C_6^0}}{{C_{18}^3}}=\frac{55}{204}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

∴$EX=0×\frac{5}{204}+1×\frac{15}{68}+2×\frac{33}{68}+3×\frac{55}{204}=2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率直方圖的性質(zhì)、超幾何分布的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．