Question

11．設(shè)雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上、下焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若在雙曲線C的下支上存在一點P使得|PF₁|=4|PF₂|，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{4}{3}$，+∞）
• B． （1，$\frac{4}{3}$]
• C． [$\frac{5}{3}$，+∞）
• D． （1，$\frac{5}{3}$]

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，再根據(jù)點P在雙曲線的下支上，可得|PF₂|≥c-a，從而求得此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：∵|PF₁|=4|PF₂|，
∴由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
∵點P在雙曲線的下支，
∴$\frac{2}{3}$a≥c-a，即$\frac{5}{3}$a≥c，
∴e≤$\frac{5}{3}$，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\frac{5}{3}$，
∴雙曲線的離心率e的取值范圍為（1，$\frac{5}{3}$]．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．