Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前9項和為153．
（1）數(shù)列{a_n}中是否存在確定的項？若存在，求出該確定的項，若不存在，請說明理由．
（2）若a₂=8，從數(shù)列{a_n}中依次取出第2項，第4項，第8項，…，第2ⁿ項，按原來的順序構(gòu)成新數(shù)列{b_n}，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，并求使m•（a_n-2）＜T_n+6恒成立的最大正整數(shù)m．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）S9=

9

2

(a1+a9)=9a₅=153，由此能求出數(shù)列{a_n}中存在確定的項．
（2）由a₂=8，a₅=17，得a_n=3n+2，利用分組求和法能求出T_n=3•2ⁿ⁺¹+2n-6，由此能求出使m•（a_n-2）＜T_n+6恒成立的最大正整數(shù)m．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前9項和為153，
∴S9=

9

2

(a1+a9)=9a₅=153，
解得a₅=17．
∴數(shù)列{a_n}中存在確定的項a₅=17．
（2）∵a₂=8，a₅=17，
∴d=

17-8

5-2

=3，a_n=8+（n-2）×3=3n+2，
∴a2n=3×2ⁿ+2，
T_n=a₂+a₄+a₈+…+a 2n
=3（2+4+8+…+2ⁿ）+2n
=3×

2(1-2n)

1-2

+2n
=3•2ⁿ⁺¹+2n-6．
∵m•（a_n-2）＜T_n+6，
∴m＜

2n+1

n

-

2

3

．
∴當n=1或n=2時，m＜4-

2

3

=

10

3

，
∴使m•（a_n-2）＜T_n+6恒成立的最大正整數(shù)m=3．

點評：本題考查數(shù)列中是否存在確定的項的判斷與求法，考查使m•（a_n-2）＜T_n+6恒成立的最大正整數(shù)m的求法，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．