Question

17．已知集合A={x|x=m+$\sqrt{2}$n，m，n∈Z}．
（1）試分別判斷x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$，x₃=（1-2$\sqrt{2}$）²與集合A的關(guān)系；
（2）設(shè)x₁，x₂∈A，證明：x₁•x₂∈A．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)集合A的表示可知，滿足$x=m+\sqrt{2}n$，其中m，n∈Z的x為集合A的元素，從而判斷一個元素是不是集合A的元素，就看能否將這個元素寫成$m+\sqrt{2}n$，（m，n∈Z）的形式，從而便可判斷x₁，x₂，x₃和集合A的關(guān)系；
（2）由x₁，x₂∈A便可將x₁，x₂分別寫成$m+\sqrt{2}n$（m，n∈Z）的形式，然后判斷能否將x₁•x₂寫成該形式，從而便可證出x₁•x₂∈A；

解答 （1）解：m=0，n=-1時，$x=-\sqrt{2}$；
∴x₁∈A；
${x}_{2}=\frac{1}{2-\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}=1+\frac{1}{2}•\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}∉Z$；
∴x₂∉A；
${x}_{3}=1-4\sqrt{2}+8=9-\sqrt{2}•4$；
∴x₃∈A；
（2）證明：∵x₁，x₂∈A；
∴${x}_{1}={m}_{1}+\sqrt{2}{n}_{1}，{x}_{2}={m}_{2}+\sqrt{2}{n}_{2}$，m_i，n_i∈Z，i=1，2；
∴${x}_{1}{x}_{2}=（{m}_{1}+\sqrt{2}{n}_{1}）（{m}_{2}+\sqrt{2}{n}_{2}）$=$（{m}_{1}{m}_{2}+2{n}_{1}{n}_{2}）+\sqrt{2}（{m}_{1}{n}_{2}+{n}_{1}{m}_{2}）$；
∵m₁m₂+2n₁n₂，m₁n₂+n₁m₂∈Z；
∴x₁•x₂∈A．

點評 考查描述法表示集合，元素與集合的關(guān)系，以及元素與集合關(guān)系的判斷方法．