Question

13．已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）•lnx+ax²+2．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-x-2，
①當(dāng)a=1時，若1＜x≤e，g（x）≤m恒成立，求m的取值范圍
②若g（x）有且僅有一個零點，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-1時，函數(shù)f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2=（x²-2x）lnx-x²+2，求出f′（x），則k=f′（1），代入直線方程的點斜式可得切線的方程；
（Ⅱ）①問題轉(zhuǎn)化為求出g（x）_max≤m，通過判斷g′（x）的符號，得到g（x）在（1，e]上單調(diào)遞增，求出g（x）的最大值，從而求出m的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的極值即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，函數(shù)f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2=（x²-2x）lnx-x²+2，
∴f′（x）=（2x-2）lnx+（x²-2x）$\frac{1}{x}$-2x，
k=f′（1）=0+（1-2）-2=-3，
f（1）=1，
切線的方程為y-1=-3（x-1），
∴切線的方程為3x+y-4=0．
（II）①當(dāng)a=1時，g（x）=（x²-2x）lnx+x²-x，
若1＜x≤e，g（x）≤m，
只需：g（x）_max≤m，g′（x）=（x-1）（3+2lnx），
∵1＜x≤e，∴g′（x）＞0成立，
∴g（x）在（1，e]上單調(diào)遞增，
則g（x）_max=g（e）=2e²-3e，
∴m≥2e²-3e；
②由g（x）=f（x）-x-2=0，得（x²-2x）•lnx+ax²+2=x+2，
即a=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，設(shè)h（x）=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，
則h′（x）=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{2}}$，
令t（x）=1-x-2lnx，
則t′（x）=$\frac{-x-2}{x}$，
∵t′（x）＜0，t（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，t（1）=h'（1）=0，
∴當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＞0，
當(dāng)x＞1時，h′（x）＜0，
即h（x）的最大值為h（1）=1，
∴若函數(shù)g（x）有且僅有一個零點時，a=1．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力．