已知定義域為R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).

(1)求a,b的值;

(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.


解:(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù),

∴f(0)=0,即=0,

解得b=1.

從而有f(x)=.

又由f(1)=-f(-1)知=-,

解得a=2.

經(jīng)檢驗a=2適合題意,

∴所求a、b的值為2,1.

(2)由(1)知f(x)==-+.

由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù).

又因f(x)是奇函數(shù),

從而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,

等價于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).

因f(x)是減函數(shù),

所以由上式推得t2-2t>-2t2+k.

即對一切t∈R有3t2-2t-k>0.

從而判別式Δ=4+12k<0,

解得k<-.

故k的取值范圍為(-∞,-).


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