Question

9．已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是[-2，6]．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，設(shè)P（2cosθ，sinθ），求出$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}$的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式得到關(guān)于θ的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出．

解答 解：以三角形的外接圓圓心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），P（2cosθ，2sinθ）．
則$\overrightarrow{PA}$=（2cosθ-2，2sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（2cosθ+1，2sinθ-$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（2cosθ-2）（2cosθ+1）+2sinθ（2sinθ-$\sqrt{3}$）
=2-2cosθ-2$\sqrt{3}$sinθ
=2-4sin（θ+$\frac{π}{6}$）．
∴-2≤$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≤6．
故答案為[-2，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．