Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{x+1}$-alnx（a∈R），求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導函數(shù)f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間），在求單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域以及對參數(shù)a的討論情況

解答 解：由于函數(shù)f（x）=$\sqrt{x+1}$-alnx，f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$-$\frac{a}{x}$，（x＞0），
①當a≤0時，易知f'（x）＞0恒成立，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當a＞0時，令f′（x）=0，得到x²-4a²x-4a²=0，則△=16a⁴+16a²＞0，解得x=2a²-2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$＜0（舍去），x=2a²+2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
當f′（x）＞0；即x＞2a²+2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0，當0＜x＜2a²+2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$，函數(shù)單調(diào)遞減；
綜上所述：當a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當a＞0時，函數(shù)f（x）在（2a²+2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，2a²+2a$\sqrt{{a}^{2}+1}$）上單調(diào)遞減．

點評 本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題，屬于中檔題