Question

19．已知函數(shù)f（x）=x-ae^x（a為實常數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=0的切線與x軸平行，求a的值；
（2）若f（x）有兩個零點x₁、x₂，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，即可得到結論．
（2）由題意可求出0＜a＜$\frac{1}{e}$；則a=$\frac{x}{{e}^{x}}$的兩個不同根為x₁，x₂，作出y=$\frac{x}{{e}^{x}}$的圖象，利用數(shù)形結合證明．

解答 解：（1）函數(shù)的導數(shù)f′（x）=1-ae^x，
∵f（x）在x=0的切線與x軸平行，
∴f′（0）=0，
即f′（0）=1-a=0，解得a=1．
（2）由f（x）=x-ae^x=0得a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
設g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
由g′（x）＜0得x＞1，由g′（x）＞0得x＜1，
即函數(shù)g（x）在x=1時，取得極大值g（1）=$\frac{1}{e}$，
則要使f（x）有兩個零點x₁、x₂，
則滿足0＜a＜$\frac{1}{e}$，
則x₁=ae^x₁，x₂=ae^x₂；
∵g（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
又∵當x∈（-∞，0]時，g（x）≤0，
故不妨設x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）；
對于任意a₁，a₂∈（0，$\frac{1}{e}$），設a₁＞a₂，
若g（m₁）=g（m₂）=a₁，g（n₁）=g（n₂）=a₂，
其中0＜m₁＜1＜m₂，0＜n₁＜1＜n₂，
∵g（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
又∵g（m₁）＞g（n₁），g（m₂）＞g（n₂）；
∴m₁＞n₁，m₂＜n₂；
∴$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$$＜\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}$；
故$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$隨著a的減小而增大，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t，
x₁=ae^x₁，x₂=ae^x₂，可化為x₂-x₁=lnt；t＞1；
則x₁=$\frac{lnt}{t-1}$，x₂=$\frac{tlnt}{t-1}$；
則x₂+x₁=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$，
令h（t）=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$，
則可證明h（t）在（1，+∞）上單調遞增；
故x₂+x₁隨著t的增大而增大，即
x₂+x₁隨著$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$的增大而增大，
故x₂+x₁隨著a的減小而增大，
而當a=$\frac{1}{e}$時，x₂+x₁=2；
故x₁+x₂＞2．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，同時考查了數(shù)形結合的思想應用，屬于難題