Question

14．如圖，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（0，-1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求橢圓E的方程；
（II）經(jīng)過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點P，Q（均異于點A），問直線AP與AQ的斜率之和是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得b=1，結合橢圓的離心率及隱含條件求得a，則橢圓E的方程可求；
（Ⅱ）設出直線PQ的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，然后借助于根與系數(shù)的關系整體運算得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意知$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=1，結合a²=b²+c²，解得$a=\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由題設知，直線PQ的方程為y=k（x-1）+1 （k≠2），代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得
（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，
由已知△＞0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0，
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$，
從而直線AP與AQ的斜率之和：
${k}_{AP}+{k}_{AQ}=\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}=\frac{k{x}_{1}+2-k}{{x}_{1}}$$+\frac{k{x}_{2}+2-k}{{x}_{2}}$
=$2k+（2-k）（\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}）=2k+（2-k）\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$2k+（2-k）\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}=2k-2（k-1）=2$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質，涉及直線和圓錐曲線位置關系的問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關系求解，是中檔題．