Question

4．拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸正半軸，過焦點(diǎn)且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則拋物線C的方程為y²=4x．

Answer 1

分析 通過設(shè)拋物線C方程為y²=2px（p＞0），則直線l方程為y=x-$\frac{p}{2}$，兩者聯(lián)立并結(jié)合韋達(dá)定理即中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：由題可設(shè)拋物線C方程為：y²=2px（p＞0），則F（$\frac{p}{2}$，0），
∵直線l過焦點(diǎn)且傾斜角為$\frac{π}{4}$，
∴直線l方程為：y=x-$\frac{p}{2}$，
聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y整理得：x-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∵AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
∴3×2=3p，即p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x，
故答案為：y²=4x．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．