Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，求出數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)是2，公比是2的等比數(shù)列；根據(jù)等差數(shù)列的定義求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式即可；
（2）分別求出數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，從而求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和即可．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-2a_n-1+2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，而s₁=2a₁-2，解得：a₁=2，
故數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)是2，公比是2的等比數(shù)列，
故${a_n}={2^n}$，
數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
故b_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是：s_n=$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是：${{S}_{n}}^{′}$=n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，
故數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=n²+2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一道中檔題．