Question

8．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（$\sqrt{5}$，0）、F₂（-$\sqrt{5}$，0），則P在雙曲線上且PF₁⊥PF₂，且△PF₁F₂的面積為1，則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

Answer 1

分析 利用△PF₁F₂的面積為1，PF₁⊥PF₂，可得|PF₁|•|PF₂|=2，利用勾股定理，結(jié)合雙曲線的定義，即可求雙曲線的方程．

解答 解：由題意，c=$\sqrt{5}$，
因?yàn)椤鱌F₁F₂的面積為1，PF₁⊥PF₂，
所以|PF₁|•|PF₂|=2，
又|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²=20，
從而（|PF₁|-|PF₂|）²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=20-4=16，即4a²=16，a=2，
所以b²=c²-a²=5-4=1，
所以雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查勾股定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．