Question

15．（1）若α，β為銳角，且cos（α+β）=$\frac{12}{13}$，cos（2α+β）=$\frac{3}{5}$，求cosα的值
（2）求函數(shù)f（x）=lg（2cosx-1）+$\sqrt{49-{x}^{2}}$的定義域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的余弦公式，利用α=（2α+β）-（α+β），即可求出cosα的值；
（2）由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0和二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于或等于0，列出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{cosx＞\frac{1}{2}}\\{49{-x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：（1）因?yàn)棣�，β為銳角，且
cos（α+β）=$\frac{12}{13}$，cos（2α+β）=$\frac{3}{5}$，
∴α+β∈[0，$\frac{π}{2}$]，2α+β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，sin（2α+β）=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=cos[（2α+β）-（α+β）]
=cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）
=$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$
=$\frac{56}{65}$；
（2）由題意可知：
$\left\{\begin{array}{l}{cosx＞\frac{1}{2}}\\{49{-x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{2kπ-\frac{π}{3}＜x＜2kπ+\frac{π}{3}，k∈Z}\\{-7≤x≤7}\end{array}\right.$，
即：-7≤x＜-$\frac{5π}{3}$或-$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$＜x≤7；
所以函數(shù)的定義域?yàn)閧-7≤x＜-$\frac{5π}{3}$或-$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$＜x≤7}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換與求函數(shù)定義域的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．