Question

16．函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+k，（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，且在x=-$\frac{π}{6}$處取得最小值-2．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得到函數(shù)g（x），設(shè)A，B，C為三角形的三個內(nèi)角，若g（B）=0，且$\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（1，sinA-cosAtanB），求$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求得ω，再根據(jù)函數(shù)在x=-$\frac{π}{6}$處取得最小值-2求得φ，可得f（x）的解析式，從而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）有條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，由g（B）=0求得B的值．利用兩個向量的數(shù)量積公式求得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的解析式，利用三角恒等變換化簡它的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+k的最小值為-1+k=-2，∴k=-1．
∵f（-$\frac{π}{6}$）=sin（-$\frac{π}{3}$+φ）-1=-2，∴φ-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即φ=2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z．
結(jié)合-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{6}$，∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得到函數(shù)g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]-1=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1的圖象，
由g（B）=sin（2B+$\frac{π}{6}$）-1=0，求得sin（2B+$\frac{π}{6}$）=1，∴B=$\frac{π}{6}$．
由 $\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB）=（cosA，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（1，sinA-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosA），可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA=sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜A＜$\frac{5π}{6}$，∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜π，0＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$ 的取值范圍為（0，1]．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，屬于中檔題．