Question

20．如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象為折線ABC，設(shè)f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，n∈N^*，則函數(shù)y=f₄（x）的圖象為（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 已知函數(shù)y=f（x）的圖象為折線ABC，設(shè)f₁（x）=f（x），f_n+1 （x）=f[f_n（x）]，可以根據(jù)圖象與x軸的交點進(jìn)行判斷，求出f₁（x）的解析式，可得與x軸有兩個交點，f₂（x）與x軸有4個交點，以此來進(jìn)行判斷．

解答 解：函數(shù)y=f（x）的圖象為折線ABC，設(shè)f₁（x）=f（x），f_n+1 （x）=f[f_n（x）]，
由圖象可知f（x）為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，所以只需考慮x≥0的情況即可：
由圖f₁（x）是分段函數(shù)，
函數(shù)f₁（x）=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-1，0≤x≤\frac{1}{2}}\\{-4x+3，\frac{1}{2}＜x≤1}\end{array}\right.$，
是分段函數(shù)，
∵f₂（x）=f（f（x）），
當(dāng)0≤x≤$\frac{1}{2}$，f₁（x）=4x-1，可得-1≤f（x）≤1，仍然需要進(jìn)行分類討論：
①0≤f（x）≤$\frac{1}{2}$，可得0＜x≤$\frac{1}{4}$，此時f₂（x）=f（f₁（x））=4（4x-1）=16x-4，
②$\frac{1}{2}$≤f（x）≤1，可得$\frac{1}{4}$＜x≤$\frac{1}{2}$，此時f₂（x）=f（f₁（x））=-4（4x-1）=-16x+4，
可得與x軸有2個交點；
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤1，時，也分兩種情況，此時也與x軸有兩個交點；
∴f₂（x）在[0，1]上與x軸有4個交點；
那么f₃（x）在[0，1]上與x軸有6個交點；
∴f₄（x）在[0，1]上與x軸有8個交點，同理在[-1.0]上也有8個交點，
故選：D．

點評 此題主要考查函數(shù)的圖象問題，以及分段函數(shù)的性質(zhì)及其圖象，屬于中檔題．