Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓C的半短軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線3x-4y+5=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（i）若直線AF₂與BF₂的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=0，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ii）若直線l的斜率是直線OA，OB斜率的等比中項(xiàng)，求△OAB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=1，由直線和圓相切的條件：d=r，可得b=1，進(jìn)而得到a，即有橢圓方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0，以及韋達(dá)定理，結(jié)合直線的斜率公式，可得m=-2k，進(jìn)而得到直線恒過(guò)定點(diǎn)（2，0）；
（ii）由直線l的斜率是直線OA，OB斜率的等比中項(xiàng)，即有k²=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得k，再由點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，運(yùn)用三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式可得面積的最大值，即有面積的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得c=1，即a²-b²=1，
由直線3x-4y+5=0與圓x²+y²=b²相切，
可得b=$\frac{|0-0+5|}{\sqrt{9+16}}$=1，解得a=$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）（i）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線y=kx+m（m≠0）代入橢圓x²+2y²=2，
可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
即有△=16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$=0，
即有2kx₁x₂-2m+（m-k）（x₁+x₂）=0，
代入韋達(dá)定理，可得2k•$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-2m+（m-k）（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）=0，
化簡(jiǎn)可得m=-2k，
則直線的方程為y=kx-2k，即y=k（x-2），
故直線l恒過(guò)定點(diǎn)（2，0）；
（ii）由直線l的斜率是直線OA，OB斜率的等比中項(xiàng)，
即有k²=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，即為k²x₁x₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
可得m²+km（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）=0，
解得k²=$\frac{1}{2}$，
代入△=16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）＞0，
可得-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，且m≠0．
由O到直線的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
弦長(zhǎng)AB為$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
則△OAB面積為S=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}}{2}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{{m}^{2}+2-{m}^{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=2-m²，即m=±1時(shí)，取得最大值．
則△OAB面積的取值范圍為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用直線與圓相切的條件：d=r，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查三角形的面積的范圍，注意運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．