A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 1 |
分析 由題意畫出圖形,利用轉化思想方法求得OQ=a,又OQ=2b,得a=2b,進一步得到a,e與b的關系,然后利用基本不等式求得$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{2b}$的最小值.
解答 解:如圖,由題意,P是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓上一點,
過焦點F2作∠F1PF2外角平分線的垂線,垂足為Q,
延長F2Q交F1P延長線于M,得PM=PF2,
由橢圓的定義知PF1+PF2=2a,故有PF1+PM=MF1=2a,
連接OQ,知OQ是三角形F1F2M的中位線,
∴OQ=a,又OQ=2b,
∴a=2b,則a2=4b2=4(a2-c2),
即c2=$\frac{3}{4}$a2,
∴$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$=$\frac{{a}^{4}+{c}^{2}}{2{a}^{2}b}$=$\frac{16^{4}+\frac{3}{4}•4^{2}}{8^{3}}$
=2b+$\frac{3}{8b}$≥2$\sqrt{2b•\frac{3}{8b}}$=$\sqrt{3}$.
當且僅當2b=$\frac{3}{8b}$,即b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$時,$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$有最小值為$\sqrt{3}$.
故選:C.
點評 本題考查橢圓的簡單性質,考查了數(shù)學轉化思想方法,訓練了利用基本不等式求最值,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$ | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 4 | B. | 5 | C. | 6 | D. | 7 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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