Question

如圖，P是圓x²+y²=4上的動點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的投影是D，點(diǎn)M滿足．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）過點(diǎn)N（3，0）的直線l與動點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程．
（3）若存在點(diǎn)Q（a，0），使得四邊形QAFB為菱形（A，B意義同（2）），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），
∵點(diǎn)M滿足．
∴x₀=x，y₀=2y
∵點(diǎn)P是圓x²+y²=4上的動點(diǎn)，
∴x²+4y²=4
即動點(diǎn)M的軌跡C的方程：，其圖形為橢圓．

（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），
由得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0
∵直線l與動點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴△=（-24k²）²-4（1+4k²）（+36k²-4）＞0，解得，
x₁+x₂=，y₁+y₂=k（x₁+x₂-6）=；
∵，即，
∴，y=，
∴頂點(diǎn)E的軌跡方程：．

（3）四邊形QAFB為菱形，則QA=AB，即（x₁-a）²+y₁²=（x₂-a）²+y₂²，
∴k==-，
∴a==，0＜k²＜，解得0＜a＜1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍：（0，1）．
分析：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x0，y0），將其代入點(diǎn)M滿足DM→=12DP→，用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入圓x2+y2=4，化簡即可求得動點(diǎn)M的軌跡C的方程，根據(jù)方程可知曲線的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，，即可求得頂點(diǎn)E的軌跡方程；（3）若存在點(diǎn)Q（a，0），使得四邊形QAFB為菱形，可得QA=AB，代入，因式分解，利用韋達(dá)定理，用k表示a，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．
點(diǎn)評：考查代入法求軌跡方程，以及直線與圓錐曲線的綜合問題，這里側(cè)重與幾何圖形的幾何性質(zhì)的考查，是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的橋梁，綜合性較強(qiáng)，特別是（3）的設(shè)問，把幾何問題和函數(shù)的值域結(jié)合起來，增加了題目的難度，屬難題．