Question

4．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a${\;}_{n}^{2}$，b_n=log₂a_n，求證：數(shù)列{b_n+1}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 通過a_n+1=2a${\;}_{n}^{2}$，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得b_n+1=1+2b_n，變形可得1+b_n+1=2（1+b_n），進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 證明：∵a_n+1=2a${\;}_{n}^{2}$，b_n=log₂a_n，
∴b_n+1=log₂a_n+1
=log₂2a${\;}_{n}^{2}$
=log₂2+$lo{g}_{2}{{a}_{n}}^{2}$
=1+2log₂a_n
=1+2b_n，
∴1+b_n+1=2（1+b_n），
即數(shù)列{b_n+1}是以2為公比的等比數(shù)列．
∵a₁=2，
∴b₁=log₂a₁=log₂2=1，
∴1+b_n=（1+1）•2^n-1=2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的判定，注意解題方法的積累，屬于中檔題．