Question

16．已知函數(shù)f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx，則下列命題正確的是①③④．（填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)）
①函數(shù)f（x）（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，$\frac{π}{6}$]；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位長度后，所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是$\frac{π}{6}$；
④若實(shí)數(shù)m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=$\frac{7π}{3}$．

Answer 1

分析 ①$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx=2（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間，即可判斷出正誤；
②將$x=-\frac{π}{6}$代入f（x），即可判斷出正誤；
③f（x）=$2sin（x+\frac{π}{3}）$，向左平移個(gè)m（m＞0）單位長度后變換為$y=2sin（x+m+\frac{π}{3}）$，由題意得$m+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，即可判斷出正誤；
④若實(shí)數(shù)m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，結(jié)合函數(shù)$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$及y=m的圖象即可得出．

解答 解：①$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx=2（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，∴函數(shù)的增區(qū)間為$[2kπ-\frac{5π}{6}，2kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$，
又∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴增區(qū)間為$[0，\frac{π}{6}]$．∴①正確；
②將$x=-\frac{π}{6}$代入f（x）得$f（-\frac{π}{6}）=2sin（-\frac{π}{6}+\frac{π}{3}）=1≠0$，∴②不正確；
③$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx=2sin（x+\frac{π}{3}）$，∴向左平移個(gè)m（m＞0）單位長度后變換為$y=2sin（x+m+\frac{π}{3}）$，由題意得$m+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
∵$m＞0∴m=\frac{π}{6}+kπ（k∈N）$，因此m的最小值是$\frac{π}{6}$，∴③正確；
④若實(shí)數(shù)m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，結(jié)合函數(shù)$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$及y=m的圖象可知，必有x=0，x=2π，此時(shí)$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，另一解為$x=\frac{π}{3}$，即x₁，x₂，x₃滿足 ${x_1}+{x_2}+{x_3}=\frac{7π}{3}$，④正確．
綜上知，只有①③④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、和差公式，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．