Question

18．對正整數(shù)n，設(shè)x_n是關(guān)于x的方程nx³+2x-n=0的實數(shù)根，記a_n=[（n+1）x_n]（n=2，3，…）（符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)）．則$\frac{1}{1005}$（a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₁）=（　　）

• A． 2013
• B． 2012
• C． 2014
• D． 2015

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造f（x）=nx³+2x-n，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出方程根的取值范圍進行求解即可．

解答 解：設(shè)f（x）=nx³+2x-n，則f′（x）=3nx²+2，
當n是正整數(shù)時，f′（x）＞0，則f（x）為增函數(shù)，
∵當n≥2時，f（$\frac{n}{n+1}$）=n×（$\frac{n}{n+1}$）³+2×（$\frac{n}{n+1}$）-n=$\frac{n}{（n+1）^{3}}$•（-n²+n+1）＜0，
且f（1）=2＞0，
∴當n≥2時，方程nx³+2x-n=0有唯一的實數(shù)根x_n且x_n∈（$\frac{n}{n+1}$，1），
∴n＜（n+1）x_n＜n+1，a_n=[（n+1）x_n]=n，
因此$\frac{1}{1005}$（a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₁）=$\frac{1}{1005}$（2+3+4+…+2011）=$\frac{（2+2011）×2010}{2×1005}$=2013，
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)和數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大．