Question

8．設$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，向量$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{c}$|=2，則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（2$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）的最大值為4+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow，\overrightarrow{c}$的坐標，代入坐標運算．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$．
設$\overrightarrow{a}=（1，0）$，$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}=（2cosθ，2sinθ）$．
則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=（1+2cosθ，2sinθ），$2\overrightarrow+\overrightarrow{c}$=（2cosθ，2+2sinθ）．
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（2$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）=2cosθ（1+2cosθ）+2sinθ（2+2sinθ）=4+2cosθ+4sinθ=4+2$\sqrt{5}$sin（θ+φ）．
∴當sin（θ+φ）=1時，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（2$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）取得最大值4+2$\sqrt{5}$．
故答案為：4+2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題．