Question

11．?dāng)?shù)列{a_n），a₁=3，a_n+1=2a_n+2ⁿ（n≥1），求a_n．

Answer 1

分析 a_n+1=2a_n+2ⁿ（n≥1），變形為$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：a_n+1=2a_n+2ⁿ（n≥1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$，公差為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}（n-1）$，
a_n=（n+2）•2^n-1．

點(diǎn)評 本題考查了遞推公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．