Question

4．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，它們的夾角為120°如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧$\overrightarrow{AB}$上變動(dòng)．若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，則x+y的最大值是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 首先以O(shè)為原點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OA}$的方向?yàn)閤軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)∠COA=θ，從而可寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，從而根據(jù)條件$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$便可得到$（cosθ，sinθ）=（x-\frac{y}{2}，\frac{\sqrt{3}y}{2}）$，這樣便可得到$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ+cosθ}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，根據(jù)兩角和的正弦公式即可得到x+y=2sin（θ+30°），根據(jù)θ的范圍即可得出x+y的最大值．

解答 解：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：
A（1，0），B（$-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），設(shè)∠AOC=θ，0°≤θ≤120°，∴C（cosθ，sinθ）；
∴$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}=（x，0）+（-\frac{y}{2}，\frac{\sqrt{3}y}{2}）$=$（x-\frac{y}{2}，\frac{\sqrt{3}y}{2}）=（cosθ，sinθ）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{y}{2}=cosθ}\\{\frac{\sqrt{3}y}{2}=sinθ}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ+cosθ}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$；
∴$x+y=\sqrt{3}sinθ+cosθ=2sin（θ+30°）$；
∵0°≤θ≤120°；
∴30°≤θ+30°≤150°；
∴θ+30°=90°，即θ=60°時(shí)x+y取最大值2．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查建立平面直角坐標(biāo)系利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，向量坐標(biāo)的數(shù)乘和加法運(yùn)算，以及兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的最大值．