Question

16．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+3{x}^{2}+1，x≤0}\\{-{x}^{2}+2ax-{a}^{2}+2a，x＞0}\end{array}\right.$在區(qū)間[-2，2]上的最大值為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]∪[3+$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求得當(dāng)x∈[-2，0]上的最大值為2； 欲使得函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值為2，討論f（x）在（0，2]上的最大值必須小于等于2，解不等式從而可得a的范圍．

解答 解：由題意，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=2x³+3x²+1，
可得f′（x）=6x²+6x，
由函數(shù)在[-1，0]上導(dǎo)數(shù)為負(fù)，在[-∞，-1]上導(dǎo)數(shù)為正，
故函數(shù)在[-2，0]上的最大值為f（-1）=2；
要使函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+3{x}^{2}+1，x≤0}\\{-{x}^{2}+2ax-{a}^{2}+2a，x＞0}\end{array}\right.$在[-2，2]上的最大值為2，
則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-（x-a）²+2a，對(duì)稱軸為x=a，
當(dāng)a≤0時(shí)，區(qū)間（0，2]為減區(qū)間，f（0）=2a≤0；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（a）取得最大，且為2a≤2，解得0＜a≤1；
當(dāng)a≥2時(shí)，區(qū)間（0，2]為增區(qū)間，f（2）=-4+6a-a²≤2，
解得a≥3+$\sqrt{3}$．
綜上可得a的范圍是a≥3+$\sqrt{3}$或a≤1．
故答案為：（-∞，1]∪[3+$\sqrt{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)最值的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．