Question

3．下列命題中正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的最小值為2
• B． 函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值為2
• C． 函數(shù)y=3^x+3^-x的最小值為2
• D． 函數(shù)y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值為2

Answer 1

分析 利用x的范圍判斷A的正誤；基本不等式判斷B、C的正誤，三角函數(shù)的符號(hào)判斷D的正誤；

解答 解：函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的最小值為2，顯然x＜0，y＜0，所以A不正確；
函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$-$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$＞2．判斷函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值為2，不正確；
函數(shù)y=3^x+3^-x≥2$\sqrt{{3}^{x}•{3}^{-x}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立，所以函數(shù)的最小值為2正確．
函數(shù)y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值為2，顯然當(dāng)sinx＜0時(shí)不成立．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．