Question

11．已知f（x）=lnx+2．
（I）試分析方程f（x）=kx+k（k＞0）在[1，e]上是否有實根，若有實數(shù)根，求出k的取值范圍；否則，請說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)h（x）=f（x）-x-1，數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{1}{n}$，其前n項和為S_n，根據(jù)函數(shù)h（x）的性質(zhì)，求證：2×3×4×…×n＞e^（n-S_n）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=kx+k，求出k=$\frac{lnx+2}{x+1}$，只需求出右式的范圍即可，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性求右式的范圍；
（Ⅱ）h（x）=f（x）-x-1=lnx-x+1，結(jié)合題的特點，先判斷l(xiāng)nx＜x-1，令x=$\frac{1}{n}$，可得ln$\frac{1}{n}$＜$\frac{1}{n}$-1，利用累加法和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=kx+k（k＞0），
∴l(xiāng)nx-k（x+1）+2=0在[1，e]上是有實根，
∴k=$\frac{lnx+2}{x+1}$，
令g（x）=$\frac{lnx+2}{x+1}$，g'（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{（x+1）^{2}}$，
令m（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，m'（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$在[1，e]上，m'（x）＜0，
∴m（x）在[1，e]上遞減，m（x）≤m（1）=0，
∴g'（x）≤0，g（x）在[1，e]上遞減，
∴g（e）≤g（x）≤g（1），
∴$\frac{3}{e+1}$≤k≤1，
故有實數(shù)根的范圍為$\frac{3}{e+1}$≤k≤1；
（Ⅱ）h（x）=f（x）-x-1=lnx-x+1，
當(dāng)0＜x＜1時，h'（x）=$\frac{1}{x}$-1＞0，
∴在（0，1）上，h（x）＜h（1）=0，
∴l(xiāng)nx＜x-1，
令x=$\frac{1}{n}$，
∴l(xiāng)n$\frac{1}{n}$＜$\frac{1}{n}$-1，
累加得：ln$\frac{1}{2}$+ln$\frac{1}{3}$+…+ln$\frac{1}{n}$＜$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-（n-1），
∴n-ln（2•3•…•n）＜S_n，
∴2×3×4×…×n＞e^（n-S_n）．

點評 考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的值域，利用構(gòu)造函數(shù)的思想，結(jié)合題的特點，利用累加法證明問題．難點是對函數(shù)的巧妙構(gòu)造．