Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}與{b_n}中，a₁=$\frac{3}{2}$，a_n•a_n+1-2a_n+1=0（n≥2），a_n•b_n-b_n=1．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由已知a₁=$\frac{3}{2}$，a_n•b_n-b_n=1求出數(shù)列首項，得到$_{n}=\frac{1}{{a}_{n}-1}$，結(jié)合a_n•a_n-1-2a_n+1=0利用作差法即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）由（1）中的等差數(shù)列求出通項公式，代入a_n•b_n-b_n=1可得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 （1）證明：由于a₁=$\frac{3}{2}$，a_n•a_n+1-2a_n+1=0（n≥2），a_n•b_n-b_n=1．
∴$_{n}=\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
則$_{1}=\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{\frac{3}{2}-1}=2$，${a}_{n+1}=2-\frac{1}{{a}_{n}}$．
∴$_{n+1}-_{n}=\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1．
整理得：b_n+1-b_n=1．
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列；
（2）解：∵數(shù)列{b_n}是以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=2+（n-1）=n+1，
代入a_n•b_n-b_n=1，得（n+1）a_n=1+（n+1）=n+2，
∴${a}_{n}=\frac{n+2}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．