Question

10．x∈R時，如果函數(shù)f（x）＞g（x）恒成立，那么稱函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）的“優(yōu)越函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=2x²+x+2-|2x+1|是函數(shù)g（x）=|x-m|的“優(yōu)越函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$-\frac{1}{2}＜m＜1$．

Answer 1

分析 根據(jù)“優(yōu)越函數(shù)”的定義轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：若函數(shù)f（x）=2x²+x+2-|2x-1|是函數(shù)g（x）=|x-m|的“優(yōu)越函數(shù)”，
則等價于2x²+x+2-|2x+1|＞|x-m|對x∈R恒成立．
f（x）=2x²+x+2-|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-x+1，}&{x≥-\frac{1}{2}}\\{2{x}^{2}+3x+3，}&{x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
分別作出函數(shù)f（x）=2x²+x+2-|2x-1|和G（x）=|x-m|
當(dāng)x≥m時，G（x）=x-m，
當(dāng)x＜m時，G（x）=-x+m，
由圖象知，當(dāng)G（x）=x-m與f（x）=2x²-x+1相切時，
由2x²-x+1=x-m，即2x²-2x+1+m=0，
由判別式△=4-4×2（1+m）=4-8（1+m）=0得m=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)G（x）=-x+m與f（x）=2x²+3x+3相切時，
由2x²+3x+3=-x+m，即2x²+4x+3-m=0，
由判別式△=16-4×2（3-m）=0得m=1，
當(dāng)G（x）=-x+m與f（x）=2x²-x+1相切時，
由2x²-x+1=-x+m，即2x²+1-m=0，
由判別式△=0-4×2（1-m）=0得m=1，
綜上若函數(shù)f（x）=2x²+x+2-|2x+1|是函數(shù)g（x）=|x-m|的“優(yōu)越函數(shù)”，
則$-\frac{1}{2}＜m＜1$
故答案為：$-\frac{1}{2}＜m＜1$

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，重在考察數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)換，函數(shù)與方程的能力，圖中一條直線與兩段拋物線同時相切的設(shè)計是非常巧妙的．難度較大，注意要進(jìn)行分類討論．