Question

15．已知關(guān)于x的方程x²+zx+1+2i=0有實(shí)根，則復(fù)數(shù)z的模的最小值為$\sqrt{2\sqrt{5}+2}$．

Answer 1

分析 設(shè)x=x₀是方程x²+zx+1+2i=0的實(shí)數(shù)根，可求得z=-x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\frac{2}{{x}_{0}}$i，繼而可得其模的解析式，應(yīng)用基本不等式即可求得答案．

解答 解：設(shè)x=x₀是方程x²+zx+1+2i=0的實(shí)數(shù)根，
則${{x}_{0}}^{2}$+zx₀+1+2i=0，
即z=-x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\frac{2}{{x}_{0}}$i，
|z|=$\sqrt{{（{-x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}）}^{2}{+（\frac{2}{{x}_{0}}）}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+\frac{5}{{{x}_{0}}^{2}}+2}$≥$\sqrt{2\sqrt{5}+2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=±$\root{4}{5}$時(shí)，等號(hào)成立．
∴|z|的最小值為：$\sqrt{2\sqrt{5}+2}$，
故答案為：$\sqrt{2\sqrt{5}+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的應(yīng)用，熟練應(yīng)用基本不等式是求|z|的最小值的關(guān)鍵，屬于中檔題．