Question

已知函數(shù)f(x)=5-

6

x

，則f（x）在x∈（0，+∞）是

 

（增函數(shù)，減函數(shù)）若f（x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]，則a=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)函數(shù)y=

6

x

的單調(diào)性，得出函數(shù)y=-

6

x

的單調(diào)性，即可得出函數(shù)f（x）=5-

6

x

的單調(diào)性；
②由函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上的單調(diào)性，得出f（x）在[a，b]上的單調(diào)性，列出方程組，求出a的值．

解答： 解：①∵函數(shù)f(x)=5-

6

x

，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，y=

6

x

是減函數(shù)，
∴y=-

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x

在x∈（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=5-

6

x

在x∈（0，+∞）上是增函數(shù)；
②∵函數(shù)f（x）=5-

6

x

在x∈（0，+∞）上是增函數(shù)，
且f（x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]；
∴

f(a)=a f(b)=b 0＜a＜b

，
即

5- 6 a =a 5- 6 b =b 0＜a＜b

，
解得a=2，b=3；
∴a的值是2．
故答案為：增函數(shù)；2．

點評：本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，也考查了函數(shù)值域的應(yīng)用問題，是綜合性題目．