Question

20．已知m、n、s、t∈R^*，m+n=4，$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$=9其中m、n是常數，且s+t的最小值是$\frac{8}{9}$，滿足條件的點（m，n）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1一弦的中點，則此弦所在直線方程為（　�。�

• A． x+4y-10=0
• B． 2x-y-2=0
• C． 4x+y-10=0
• D． 4x-y-6=0

Answer 1

分析 由題設中所給的條件，求出點（m，n）的坐標，由于此點是其所在弦的中點，故可以用點差法求出此弦所在直線的斜率，再由點斜式寫出直線的方程，整理成一般式即可．

解答 解：由已知得s+t=$\frac{1}{9}$（s+t）（$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$）=$\frac{1}{9}$（m+n+$\frac{mt}{s}$+$\frac{ns}{t}$）≥$\frac{1}{9}$（m+n+2$\sqrt{mn}$）
=$\frac{1}{9}$（$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$）²，
由于s+t的最小值是$\frac{8}{9}$，
因此$\frac{1}{9}$（$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$）²=$\frac{8}{9}$，即$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$=2$\sqrt{2}$，又m+n=4，
所以m=n=2．
設以點（m，n）為中點的弦的兩個端點的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=y₁+y₂=4．
又該兩點在雙曲線上，代入雙曲線方程，兩式相減得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=4，
即所求直線的斜率是4，所求直線的方程是y-2=4（x-2），即4x-y-6=0．
故選：D．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關系，求解本題的關鍵有二，一是利用基本不等式與最值的關系求出參數的值，一是利用點差法與中點的性質求出弦所在直線的斜率，點差法是知道中點的情況下常用的表示直線斜率的方法，其特征是有中點出現(xiàn)，做題時要善于運用．