Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$．
（1）當(dāng)a=$\frac{9}{2}$時(shí)，求f（x）在定義域上的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍，并在此范圍下討論關(guān)于x的方程f（x）=x²-2x+3的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{9}{2}$時(shí)，求出f（x），然后求f′（x），根據(jù)該導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$，從而得到x²+（2-a）x+1≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，根據(jù)判別式的取值情況并結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可求出a的范圍．而判斷方程f（x）=x²-2x+3解的個(gè)數(shù)，就是判斷函數(shù)f（x）和函數(shù)x²-2x+3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）遞增的速度小于lnx遞增的速度，從而通過(guò)函數(shù)f（x）和x²-2x+3的圖象即可找到原方程解的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）a=$\frac{9}{2}$時(shí)，f（x）=$lnx+\frac{9}{2（x+1）}$，f′（x）=$\frac{（x-2）（2x-1）}{2x（x+1）^{2}}$；
∴x$∈（0，\frac{1}{2}），（2，+∞）$時(shí)，f′（x）＞0；x$∈（\frac{1}{2}，2）$時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）在定義域上的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為$[\frac{1}{2}，2]$；
（2）f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$；
f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
∴x²+（2-a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立；
設(shè)g（x）=x²+（2-a）x+1，則：
①若△=（2-a）²-4≤0，即0≤a≤4時(shí)，滿足g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
②若△＞0，即a＜0，或a＞4時(shí)，∵g（0）=1＞0，∴a還需滿足：$\frac{a-2}{2}＜0$；
∴a＜2；
∴此種情況下a＜0；
綜上得a的取值范圍為（-∞，4]；
由于當(dāng)x趨向0時(shí)，lnx$+\frac{a}{x+1}$趨向負(fù)無(wú)窮；x趨向正無(wú)窮時(shí)，lnx+$\frac{a}{x+1}$趨向正無(wú)窮，所以畫出函數(shù)y=lnx+$\frac{a}{x+1}$和y=x²-2x+3的圖象如下：

只要a≤4，函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$遞增的速度都小于lnx遞增的速度；
∴y=lnx的圖象會(huì)在直線y=x的下方，而y=x²-2x+3的圖象在y=x的上方；
∴函數(shù)y=lnx+$\frac{a}{x+1}$和y=x²-2x+3的圖象沒(méi)有交點(diǎn)；
∴原方程無(wú)解．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法和過(guò)程，當(dāng)二次函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上恒大于0時(shí)，能夠限制函數(shù)中的系數(shù)，熟悉并能畫出二次函數(shù)圖象，以及根據(jù)遞增速度畫函數(shù)圖象，以及根據(jù)圖象求方程解的方法．