Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²-|x-a|．
（1）若f（x）在（0，+∞）上存在最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若方程f（x）=|x|有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先去絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，然后分a的正負(fù)，結(jié)合二次函數(shù)的最值來(lái)討論；
（2）方程f（x）=|x|有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即為ax²-|x-a|=|x|有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．當(dāng)a=0時(shí)，x=0，不成立；a＜0，顯然不成立，當(dāng)a＞0時(shí)，令g（x）=ax²-|x-a|-|x|，先去絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，利用△＞0判斷即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-x（x＞0），在（0，+∞）遞減，不存在最小值；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=ax²-x+a=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+a-$\frac{1}{4a}$，（x＞0），在（0，+∞）遞減，不存在最小值；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=ax²-|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-x+a，x≥a}\\{a{x}^{2}+x-a，x＜a}\end{array}\right.$，
由于$\frac{1}{2a}$＞0，在x≥a上有最小值$\frac{4{a}^{2}-1}{4a}$，
在（0，a）上遞增，當(dāng)-a≥$\frac{4{a}^{2}-1}{4a}$，解得0＜a≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
f（x）在（0，+∞）上存在最小值，且為$\frac{4{a}^{2}-1}{4a}$；
當(dāng)a＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$時(shí)，-a＜$\frac{4{a}^{2}-1}{4a}$，則f（x）在（0，+∞）上不存在最小值．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]；
（2）方程f（x）=|x|有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即為ax²-|x-a|=|x|有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
當(dāng)a=0時(shí)，x=0，不成立；a＜0，顯然不成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，令g（x）=ax²-|x-a|-|x|
=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+2x-a，x＜0}\\{a{x}^{2}-a，0≤x≤a}\\{a{x}^{2}-2x+a，x＞a}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜0時(shí)，判別式為4+4a²＞0，則g（x）=0必有一個(gè)負(fù)根，
當(dāng)0≤x≤a，且a＜1時(shí)，g（x）=0無(wú)實(shí)數(shù)根，當(dāng)a=1或a＞1時(shí)，g（x）=0有一個(gè)根；
當(dāng)x＞a時(shí)，當(dāng)a=1時(shí)，解得x=1，g（x）=0無(wú)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)a＞1時(shí)，判別式為4-4a²＜0，則g（x）=0無(wú)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）=0的兩根為x=$\frac{1±\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，必有$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$＞a成立，
即有0＜a＜1時(shí)，g（x）=0必有一根．
綜上可得，當(dāng)0＜a≤1或a＞1，即有a＞0時(shí)，方程f（x）=|x|有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值函數(shù)的最值和二次方程的根的分布，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．