Question

12．如圖，點(diǎn)E在△ABC的外接圓O上，AB=AC，$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，AC交BE于點(diǎn)D，圓O的面積為S．
（1）證明：$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$；
（2）若△ABC的面積S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BD•BE，證明：$\frac{S}{{S}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{9}$．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出∠ABD=∠CBE，∠BA=∠BEC，從而△ABD∽△EBC，由此能證明$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$．
（2）推導(dǎo)出AB=AC=BC，半徑R=OB=2OD=2DE，由此能證明$\frac{S}{{S}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{9}$．

解答 證明：（1）∵$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，∴∠ABD=∠CBE，
∵∠BA=∠BEC，∴△ABD∽△EBC，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BD}{BC}$，∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$．
（2）∵點(diǎn)E在△ABC的外接圓O上，AB=AC，$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，AC交BE于點(diǎn)D，圓O的面積為S，
∴AB=AC=BC，圓心O是等邊△ABC的重心，且O在BE上，半徑R=OB=2OD=2DE，
∵S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BD•BE，∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}•（r+\frac{1}{2}r）（r+r）$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{r}^{2}$，
圓O的面積為S=πr²，
∴$\frac{S}{{S}_{1}}$=$\frac{π{r}^{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{4}{r}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩組線段比值相等的證明，考查圓的面積與三角形面積比值的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．