Question

20．如圖，C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切圓O于A點(diǎn)，CE=OE，CD交⊙O于點(diǎn)D、F．
（Ⅰ）求證：AB²=CF•CD；
（Ⅱ）若DF=CE，求$\frac{CF}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AB=AC，利用切割線定理，即可證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）AC=$\sqrt{3}$CE，若DF=CE，利用切割線定理，求$\frac{CF}{DF}$的值．

解答 （Ⅰ）證明：∵C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切圓O于A點(diǎn)，CE=OE，
∴sin∠ACB=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=30°，
∴∠AOC=60°
∵OA=OB，∴∠ABC=30°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC，
∵CA切圓O于A點(diǎn)，
∴由切割線定理得AC²=CF•CD，
∴AB²=CF•CD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）AC=$\sqrt{3}$CE，AC²=CF•CD，DF=CE，
∴3DF²=CF•（CF+DF），
∴CF²-DF•CF-3DF²=0，
∴CF=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$DF
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切割線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用切割線定理是關(guān)鍵．