Question

5．如圖所示將若干個點擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個端點）有n（n＞1，n∈N^*）個點，相應(yīng)的圖案中總的點數(shù)記為a_n，則$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{9}{{a}_{4}{a}_{5}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2016}{a}_{2017}}$=（　�。�

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{2017}{2016}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{2016}{2015}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可得a₂=3=3×（2-1），a₃=6=3×（3-1），a₄=9=3×（4-1），a₅=12=3×（5-1）…a_n=3（n-1），數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為3的等差數(shù)列，通項為a_n=3（n-1）（n≥2）；所以$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3（n-1）•3n}$=$\frac{1}{9}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求和．

解答 解：根據(jù)分析，可得
a₂=3=3×（2-1），a₃=6=3×（3-1），a₄=9=3×（4-1），
a₅=12=3×（5-1）…，a_n=3（n-1），
數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為3的等差數(shù)列，通項為a_n=3（n-1）（n≥2）；
所以$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3（n-1）•3n}$=$\frac{1}{9}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
則$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{9}{{a}_{4}{a}_{5}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2016}{a}_{2017}}$=9×$\frac{1}{9}$×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的圖形中點數(shù)的變化推得a_n=3（n-1）（n≥2）．