Question

14．已知關(guān)于x的不等式 x²-（a²+3a+2）x+3a（a²+2）＜0（a∈R）．
（Ⅰ）解該不等式；
（Ⅱ）定義區(qū)間（m，n）的長度為d=n-m，若a∈[0，4]，求該不等式解集表示的區(qū)間長度的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式化為[x-（a²+2）]（x-3a）＜0，根據(jù)1＜a＜2，a=1或a=2分類討論，能求出原不等式的解集．
（Ⅱ）當(dāng)a≠1且a≠2時(shí)，$d=|{{a^2}+2-3a}|=|{{{（a-\frac{3}{2}）}^2}-\frac{1}{4}}|$，a∈[0，4]，由此能求出該不等式解集表示的區(qū)間長度的最大值．

解答 解：（Ⅰ）原不等式可化為[x-（a²+2）]（x-3a）＜0，…（1分）
當(dāng)a²+2＜3a，即1＜a＜2時(shí)，
原不等式的解為a²+2＜x＜3a； …（3分）當(dāng)a²+2=3a，即a=1或a=2時(shí)，原不等式的解集為∅； …（5分）
當(dāng)a²+2＞3a，即a＜1或a＞2時(shí)，
原不等式的解為3a＜x＜a²+2．…（7分）
綜上所述，當(dāng)1＜a＜2時(shí)，原不等式的解為a²+2＜x＜3a，
當(dāng)a=1或a=2時(shí)，原不等式的解集為∅，
當(dāng)a＜1或a＞2時(shí)，原不等式的解為3a＜x＜a²+2．
（Ⅱ）當(dāng)a=1或a=2時(shí)，該不等式解集表示的區(qū)間長度不可能最大．…（8分）
當(dāng)a≠1且a≠2時(shí)，$d=|{{a^2}+2-3a}|=|{{{（a-\frac{3}{2}）}^2}-\frac{1}{4}}|$，a∈[0，4]．…（9分）
設(shè)t=a²+2-3a，a∈[0，4]，
則當(dāng)a=0時(shí)，t=2，當(dāng)$a=\frac{3}{2}$時(shí)，$t=-\frac{1}{4}$，當(dāng)a=4時(shí)，t=6，…（11分）
∴當(dāng)a=4時(shí)，d_max=6．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次不等式的解法，考查不等式解集表示的區(qū)間長度的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．