Question

9．F為拋物線y²=12x的焦點，過F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A，過A作AH垂直拋物線的準線于H，若直線l的傾角α∈（0，$\frac{π}{3}$]，則△AFH面積的最小值為36$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設A點坐標（x，y）（y＞0），直線l的傾角α∈（0，$\frac{π}{3}$]，則x≥9，△AFH面積S=$\frac{1}{2}$×（x+3）y，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出△AFH面積的最小值．

解答 解：設A點坐標（x，y）（y＞0），直線l的傾角α∈（0，$\frac{π}{3}$]，則x≥9
△AFH面積S=$\frac{1}{2}$×（x+3）y，
t=S²=$\frac{1}{4}$（x+3）²×12x=3x（x+3）²，
t′=3（x+3）²+6x（x+3）=3（x+3）（3x+3）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．
∴x=9時，S最小，S²=3×9×12²，S=36$\sqrt{3}$．
故答案為：36$\sqrt{3}$．

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查三角形的面積，確定面積及其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．