Question

4．已知拋物線x²=2py，準線方程為y+1=0，直線l過定點T（0，t）（t＞0）且與拋物線交于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）求拋物線的方程；
（2）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由；
（3）當t=1時，設(shè)$\overrightarrow{AT}=λ•\overrightarrow{TB}$，記|AB|=f（λ），求f（λ）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)準線方程便可得到$-\frac{p}{2}=-1$，從而可以求出p，這便得到拋物線方程為x²=4y；
（2）可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得到直線l方程y=kx+t，聯(lián)立拋物線方程并消去y得到x²-4kx-4t=0，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4k}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-4t}\\{{y}_{1}{y}_{2}={t}^{2}}\end{array}\right.$，這樣即可得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={t}^{2}-4t$，根據(jù)題意知t為定值，即得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$為定值，定值為t²-4t；
（3）可得到T（0，1），可設(shè)$B（{x}_{0}，\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，根據(jù)條件$\overrightarrow{AT}=λ\overrightarrow{TB}$便可得到$A（-λ{x}_{0}，1+λ-λ•\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，而根據(jù)點A在拋物線x²=4y上便可得到${{x}_{0}}^{2}=\frac{4}{λ}$，而T又是拋物線的焦點，從而有f（λ）=|AB|=y_A+y_B+2，帶入A，B的縱坐標及${{x}_{0}}^{2}=\frac{4}{λ}$便可得出f（λ）的解析式．

解答 解：（1）由題意，$-\frac{p}{2}=-1$，p=2；
∴拋物線方程為x²=4y；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=kx+t，則：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得，x²-4kx-4t=0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4k}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-4t}\end{array}\right.$；
∴y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+kt（{x}_{1}+{x}_{2}）+{t}^{2}$=-4k²t+4k²t+t²=t²；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={t}^{2}-4t$；
因為點T（0，t）是定點，所以t是定值，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$是定值，此定值為t²-4t；
（3）T（0，1），設(shè)$B（{x}_{0}，\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，則：
$\overrightarrow{TB}=（{{x_0}\;，\;\frac{x_0^2}{4}-1}）$，$\overrightarrow{AT}=λ\overrightarrow{TB}=（{λ{x_0}\;，\;λ•\frac{x_0^2}{4}-λ}）$，故$A（-λ{x_0}\;，\;1+λ-λ•\frac{x_0^2}{4}）$；
因為點A在拋物線x²=4y上，所以${λ^2}x_0^2=4（{1+λ-λ•\frac{x_0^2}{4}}）$，得$x_0^2=\frac{4}{λ}$；
又T為拋物線的焦點，故$f（λ）=|AB|={y_A}+{y_B}+2=（{1+λ-λ•\frac{x_0^2}{4}}）+\frac{x_0^2}{4}+2$=$λ+\frac{1}{λ}+2$；
即$f（λ）=λ+\frac{1}{λ}+2$（λ＞0）．

點評 考查拋物線的標準方程，拋物線的準線方程，拋物線的定義，直線的點斜式方程，韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，以及向量坐標的數(shù)乘運算．