Question

13．已知a，b∈（0，1），則a+b≤1是不等式ax²+by²≥（ax+by）²對(duì)任意x，y∈R恒成立的充分必要條件．

Answer 1

分析 結(jié)合不等式的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．

解答 解：∵ax²+by²-（ax+by）²
=（a-a²）x²+（b-b²）y²-2abxy
=a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy，
又∵a+b≤1，a，b∈（0，1），
∴原式=abx²+aby²-2abxy=ab（x-y）²≥0，
∴ax²+by²≥（ax+by）²，成立．
當(dāng)x=y=1時(shí)，不等式等價(jià)為a+b≥（a+b）²，
即（a+b）（a+b-1）≤0，
∵a，b∈（0，1），
∴a+b-1≤0，即a+b≤1，
∴a+b≤1是不等式ax²+by²≥（ax+by）² 對(duì)任意的x，y∈R恒成立的充分必要條件，
故答案為：充分必要．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．