Question

14．已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₆=11，a₁，a₃，S₅成等比數(shù)列，
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=2ⁿa_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，從而列出方程a₃=a₁+2d，a₆=a₁+5d=11，S₅=5a₃，a₃a₃=a₁S₅，從而解得；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)b_n=2ⁿa_n+1=（2n+1）2ⁿ，從而利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
a₃=a₁+2d，a₆=a₁+5d=11，
S₅=5a₃，
∵a₁，a₃，S₅成等比數(shù)列，
∴a₃a₃=a₁S₅，
聯(lián)立方程解得，
a₁=1，d=2，
故a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）b_n=2ⁿa_n+1=（2n+1）2ⁿ，
T_n=3•2¹+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ，
2T_n=3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
兩式作差可得，
T_n=-3•2¹-2•2²-2•2³-…-2•2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹
=-6-$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+（2n+1）2ⁿ⁺¹
=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及方程思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．